Γράφει ο Σεραφείμ Κερασιώτης
Μαθηματικός - π. Διευθυντής 2ου ΕΠΑ.Λ Γαλατσίου
Επίτιμος Πρόεδρος Ο.Λ.Τ.Ε.Ε
Η εξάπλωση του κορωνοϊού είναι μια ύπουλη εκθετική αύξηση. Αρχίζει με 1 κρούσμα. Μετά από δύο-τρεις μέρες τα κρούσματα γίνονται 2. Μετά από άλλες δύο-τρεις μέρες γίνονται 4. Έχει περάσει μια βδομάδα και φαίνεται υπό έλεγχο. Έλα όμως που αν περάσουν άλλες δύο βδομάδες τα κρούσματα θα γίνουν περίπου 1000, και αν περάσουν άλλες δύο-τρεις βδομάδες θα γίνουν πάνω από εκατό χιλιάδες!
Η εκθετική αύξηση είναι ύπουλο πράγμα. Το σκέφτεσαι λίγο και τα νούμερα φαίνονται μικρά. Μετά από λίγα μόλις βήματα έχει γίνει τόσο μεγάλη που δεν το χωράει ο νους σου. Ο αριθμός γίνεται τόσο εξωφρενικά μεγάλος που είναι μεγαλύτερος από τα μόρια του σύμπαντος. (Κωνσταντίνος Δασκαλάκης 20-3-2020)
1. Η σκακιέρα
Ο μύθος μιλάει για ένα βασιλιά στην μακρινή Ινδία που ήταν καλός στο σκάκι και είχε τη συνήθεια να καλεί τους περαστικούς να παίξουνε παρτίδες. Μια μέρα προσκάλεσε ένα σοφό περαστικό, λέγοντας του ότι αν χάσει θα του χάριζε ό,τι ζητούσε.
Ο σοφός του ζήτησε να πληρωθεί σε ρύζι με τον εξής τρόπο: δύο κόκκους ρύζι για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, τέσσερις για το δεύτερο, οχτώ για το τρίτο, και ούτω καθεξής, βάζοντας σε κάθε τετράγωνο της σκακιέρας δύο φορές τον αριθμό από κόκκους του γειτονικού τετραγώνου. Ο βασιλιάς δέχτηκε και έπαιξαν. Ο περαστικός ήταν βιρτουόζος στο σκάκι, και προς έκπληξη όλων κέρδισε τον βασιλιά.
Ο βασιλιάς ζήτησε να φέρουν ένα σακί με ρύζι για να πληρώσει τον περαστικό. Και άρχισε να βάζει τους κόκκους στη σκακιέρα. Όμως σύντομα κατάλαβε ότι ακόμα και η αμύθητη περιουσία του δεν αρκούσε για να πληρώσει τον περαστικό. Συνειδητοποίησε ότι όταν έφτανε στο εικοστό τετράγωνο θα χρειαζόταν περίπου 1 εκατομμύριο κόκκους ρυζιού, στο τριακοστό 1 δισεκατομμύριο κόκκους, στο τεσσαρακοστό 1 τρισεκατομμύριο, και πάει λέγοντας.
Για να πληρώσει τον περαστικό θα χρειαζόταν περίπου 1 τρισεκατομμύριο τόνους ρυζιού, δηλαδή περισσότερους τόνους από όσο ρύζι παράγει η Κίνα σε 7000 χρόνια, με βάση την περσινή της παραγωγή!
2. Ο έξυπνος υπάλληλος του super market
Ένας νεαρός αναζητώντας εργασία σε ένα super market, πάνω στην συζήτηση με τον υπεύθυνο των προσλήψεων για το ύψος του μισθού του, πρότεινε να αμείβεται με έναν ιδιαίτερο τρόπο για 30 μέρες που θα είναι σε δοκιμαστική περίοδο. Πρότεινε την 1η μέρα εργασίας ημερομίσθιο 1 λεπτό, την 2η μέρα 2 λεπτά, την 3η μέρα 4 λεπτά, την 4η μέρα 8 λεπτά, την 5η μέρα 16 λεπτά, την 6η μέρα 32 λεπτά και κάθε επόμενη μέρα να παίρνει ημερομίσθιο το διπλάσιο της προηγούμενης μέρας.
Τα μικρά ποσά της πρώτης βδομάδας παρέσυραν και έπεισαν τον υπεύθυνο του super market να προσλάβει τον υπάλληλο με την συμφωνία να πληρώνεται όπως αυτός πρότεινε. Ο υπάλληλος έπιασε δουλειά, πέρασε ένας μήνας και ήρθε η ώρα της πληρωμής.
Όταν πήγε το λογιστήριο του super market να υπολογίσει τoν μισθό του υπαλλήλου, όλοι βρέθηκαν τότε μπροστά σε μια δυσάρεστη έκπληξη, καθώς το ποσό του μισθού ήταν τεράστιο και απρόσμενο. Για την ακρίβεια ο μηνιαίος μισθός του υπαλλήλου που υπολογίστηκε για 25 εργάσιμες μέρες ήταν 335.544 ευρώ (αποτέλεσμα της εκθετικής αύξησης).
Τότε ο υπάλληλος χαμογέλασε για το πάθημα των υπευθύνων του super market, δεν αποδέχθηκε το τεράστιο ποσό παρά μόνο το ποσό του κατώτερου μισθού. Ο υπεύθυνος του super market σε συνεννόηση με τον ιδιοκτήτη, για ανταμοιβή πρότεινε στον υπάλληλο μια καλή θέση στην επιχείρηση με έναν πολύ καλό μισθό.
3. Το τσιγαρόχαρτο που ξεπέρασε το ύψος του Έβερεστ αλλά και του Ολύμπου του πλανήτη Άρη.
Έχουμε μία ταινία από λεπτό τσιγαρόχαρτο πολύ μεγάλου μήκους. Διπλώνουμε την ταινία στα δύο.
Στη συνέχεια αναδιπλώνουμε τη διπλωμένη ταινία.
Το δίπλωμα αυτό συνεχίζω να το κάνω με τον ίδιο τρόπο, ώστε συνολικά να κάνω 25 διπλώσεις.
Τι είναι μεγαλύτερο, το πάχος των διπλωμένων τσιγαρόχαρτων ή το ύψος του Έβερεστ; (Γνωρίζω ότι το πάχος ενός τσιγαρόχαρτου είναι 0,001m και το ύψος του Έβερεστ 8.848 m).
Αν το διπλώσω άλλη μία φορά δηλαδή 26 φορές, τι είναι μεγαλύτερο το πάχος του διπλωμένου τσιγαρόχαρτου ή το ύψος του όρους Όλυμπος του πλανήτη Άρη (ύψος του Ολύμπου 30.000 μέτρα).
Το διπλωμένο τσιγαρόχαρτο είναι και στις δύο περιπτώσεις μεγαλύτερο.
4. Το νούφαρο και η λίμνη
Ένα νούφαρο διπλασιάζεται σε μέγεθος κάθε μέρα. Την τριακοστή ημέρα, έχει καλύψει ολόκληρη τη λίμνη. Ποια ημέρα το νούφαρο θα καλύπτει τη μισή λίμνη; (σε 29 ημέρες τη μισή λίμνη και σε 30 ολόκληρη).
5. Ο άνθρωπος που κύκλωσε τη γη 26 φορές
Ένα βήμα ενός ανθρώπου έχει μήκος ένα μέτρο. Με τριάντα βήματα θα διανυθεί απόσταση 30 μέτρων.
Με τριάντα εκθετικά βήματα, ποια απόσταση θα διανυθεί (κάθε φορά διπλασιάζουμε την απόσταση); Απάντηση: η απόσταση είναι τόσο μεγάλη που μπορεί να κυκλώσει τη γη 26 φορές. (Εκθετικά βήματα: διπλασιάζοντας κάτι 10 φορές προκύπτει το 1.024, 20 φορές το 1.048.576 και 30 φορές το 1.073.741.824. Άρα: 2^30 = 1.073.741.824 μέτρα / 40.077.000 μέτρα (περίμετρος γης) = 26,84).
6. Γραμμική και εκθετική εξέλιξη
Στο παρακάτω διάγραμμα παρατηρούμε την γραμμική και την εκθετική εξέλιξη. Είναι ενδιαφέρον ότι μέχρι τα 10 πρώτα σημεία “κερδίζει” η γραμμική εξέλιξη. Στη συνέχεια οι διαφορές μεγεθύνονται υπερβολικά υπέρ της εκθετικής (Η γραμμική εξέλιξη αναπαριστά την ακολουθία: 1,2,3,4 … 19,20. Τα αποτελέσματα της εκθετικής συνάρτησης: 1,25^(1,2,3 …20) είναι: 1,25, 1,56, 1,95, 2,44 … 69,39, 86,74).
Στα πρώτα βήματα της εκθετικής εξέλιξης, τα πάντα δείχνουν ότι είναι υπό έλεγχο. Τίποτα το σπουδαίο και ενδιαφέρον. Αυτό είναι εξαιρετικά επικίνδυνο. Τίποτα δεν προδιαθέτει αυτό που θα συμβεί. Και προφανώς κανείς δεν προετοιμάζεται – κανείς δεν θέλει να σταματήσει η ορχήστρα να παίζει, όταν όλοι διασκεδάζουν και είναι χαρούμενοι.
Η εκθετική αύξηση είναι ύπουλο πράγμα. Το σκέφτεσαι λίγο και τα νούμερα φαίνονται μικρά. Μετά από λίγα μόλις βήματα έχει γίνει τόσο μεγάλη που δεν το χωράει ο νους σου. Ο αριθμός γίνεται τόσο εξωφρενικά μεγάλος που είναι μεγαλύτερος από τα μόρια του σύμπαντος. (Κωνσταντίνος Δασκαλάκης 20-3-2020)
1. Η σκακιέρα
Ο μύθος μιλάει για ένα βασιλιά στην μακρινή Ινδία που ήταν καλός στο σκάκι και είχε τη συνήθεια να καλεί τους περαστικούς να παίξουνε παρτίδες. Μια μέρα προσκάλεσε ένα σοφό περαστικό, λέγοντας του ότι αν χάσει θα του χάριζε ό,τι ζητούσε.
Ο σοφός του ζήτησε να πληρωθεί σε ρύζι με τον εξής τρόπο: δύο κόκκους ρύζι για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, τέσσερις για το δεύτερο, οχτώ για το τρίτο, και ούτω καθεξής, βάζοντας σε κάθε τετράγωνο της σκακιέρας δύο φορές τον αριθμό από κόκκους του γειτονικού τετραγώνου. Ο βασιλιάς δέχτηκε και έπαιξαν. Ο περαστικός ήταν βιρτουόζος στο σκάκι, και προς έκπληξη όλων κέρδισε τον βασιλιά.
Ο βασιλιάς ζήτησε να φέρουν ένα σακί με ρύζι για να πληρώσει τον περαστικό. Και άρχισε να βάζει τους κόκκους στη σκακιέρα. Όμως σύντομα κατάλαβε ότι ακόμα και η αμύθητη περιουσία του δεν αρκούσε για να πληρώσει τον περαστικό. Συνειδητοποίησε ότι όταν έφτανε στο εικοστό τετράγωνο θα χρειαζόταν περίπου 1 εκατομμύριο κόκκους ρυζιού, στο τριακοστό 1 δισεκατομμύριο κόκκους, στο τεσσαρακοστό 1 τρισεκατομμύριο, και πάει λέγοντας.
Για να πληρώσει τον περαστικό θα χρειαζόταν περίπου 1 τρισεκατομμύριο τόνους ρυζιού, δηλαδή περισσότερους τόνους από όσο ρύζι παράγει η Κίνα σε 7000 χρόνια, με βάση την περσινή της παραγωγή!
2. Ο έξυπνος υπάλληλος του super market
Ένας νεαρός αναζητώντας εργασία σε ένα super market, πάνω στην συζήτηση με τον υπεύθυνο των προσλήψεων για το ύψος του μισθού του, πρότεινε να αμείβεται με έναν ιδιαίτερο τρόπο για 30 μέρες που θα είναι σε δοκιμαστική περίοδο. Πρότεινε την 1η μέρα εργασίας ημερομίσθιο 1 λεπτό, την 2η μέρα 2 λεπτά, την 3η μέρα 4 λεπτά, την 4η μέρα 8 λεπτά, την 5η μέρα 16 λεπτά, την 6η μέρα 32 λεπτά και κάθε επόμενη μέρα να παίρνει ημερομίσθιο το διπλάσιο της προηγούμενης μέρας.
Τα μικρά ποσά της πρώτης βδομάδας παρέσυραν και έπεισαν τον υπεύθυνο του super market να προσλάβει τον υπάλληλο με την συμφωνία να πληρώνεται όπως αυτός πρότεινε. Ο υπάλληλος έπιασε δουλειά, πέρασε ένας μήνας και ήρθε η ώρα της πληρωμής.
Όταν πήγε το λογιστήριο του super market να υπολογίσει τoν μισθό του υπαλλήλου, όλοι βρέθηκαν τότε μπροστά σε μια δυσάρεστη έκπληξη, καθώς το ποσό του μισθού ήταν τεράστιο και απρόσμενο. Για την ακρίβεια ο μηνιαίος μισθός του υπαλλήλου που υπολογίστηκε για 25 εργάσιμες μέρες ήταν 335.544 ευρώ (αποτέλεσμα της εκθετικής αύξησης).
Τότε ο υπάλληλος χαμογέλασε για το πάθημα των υπευθύνων του super market, δεν αποδέχθηκε το τεράστιο ποσό παρά μόνο το ποσό του κατώτερου μισθού. Ο υπεύθυνος του super market σε συνεννόηση με τον ιδιοκτήτη, για ανταμοιβή πρότεινε στον υπάλληλο μια καλή θέση στην επιχείρηση με έναν πολύ καλό μισθό.
3. Το τσιγαρόχαρτο που ξεπέρασε το ύψος του Έβερεστ αλλά και του Ολύμπου του πλανήτη Άρη.
Έχουμε μία ταινία από λεπτό τσιγαρόχαρτο πολύ μεγάλου μήκους. Διπλώνουμε την ταινία στα δύο.
Στη συνέχεια αναδιπλώνουμε τη διπλωμένη ταινία.
Το δίπλωμα αυτό συνεχίζω να το κάνω με τον ίδιο τρόπο, ώστε συνολικά να κάνω 25 διπλώσεις.
Τι είναι μεγαλύτερο, το πάχος των διπλωμένων τσιγαρόχαρτων ή το ύψος του Έβερεστ; (Γνωρίζω ότι το πάχος ενός τσιγαρόχαρτου είναι 0,001m και το ύψος του Έβερεστ 8.848 m).
Αν το διπλώσω άλλη μία φορά δηλαδή 26 φορές, τι είναι μεγαλύτερο το πάχος του διπλωμένου τσιγαρόχαρτου ή το ύψος του όρους Όλυμπος του πλανήτη Άρη (ύψος του Ολύμπου 30.000 μέτρα).
Το διπλωμένο τσιγαρόχαρτο είναι και στις δύο περιπτώσεις μεγαλύτερο.
4. Το νούφαρο και η λίμνη
Ένα νούφαρο διπλασιάζεται σε μέγεθος κάθε μέρα. Την τριακοστή ημέρα, έχει καλύψει ολόκληρη τη λίμνη. Ποια ημέρα το νούφαρο θα καλύπτει τη μισή λίμνη; (σε 29 ημέρες τη μισή λίμνη και σε 30 ολόκληρη).
5. Ο άνθρωπος που κύκλωσε τη γη 26 φορές
Ένα βήμα ενός ανθρώπου έχει μήκος ένα μέτρο. Με τριάντα βήματα θα διανυθεί απόσταση 30 μέτρων.
Με τριάντα εκθετικά βήματα, ποια απόσταση θα διανυθεί (κάθε φορά διπλασιάζουμε την απόσταση); Απάντηση: η απόσταση είναι τόσο μεγάλη που μπορεί να κυκλώσει τη γη 26 φορές. (Εκθετικά βήματα: διπλασιάζοντας κάτι 10 φορές προκύπτει το 1.024, 20 φορές το 1.048.576 και 30 φορές το 1.073.741.824. Άρα: 2^30 = 1.073.741.824 μέτρα / 40.077.000 μέτρα (περίμετρος γης) = 26,84).
6. Γραμμική και εκθετική εξέλιξη
Στο παρακάτω διάγραμμα παρατηρούμε την γραμμική και την εκθετική εξέλιξη. Είναι ενδιαφέρον ότι μέχρι τα 10 πρώτα σημεία “κερδίζει” η γραμμική εξέλιξη. Στη συνέχεια οι διαφορές μεγεθύνονται υπερβολικά υπέρ της εκθετικής (Η γραμμική εξέλιξη αναπαριστά την ακολουθία: 1,2,3,4 … 19,20. Τα αποτελέσματα της εκθετικής συνάρτησης: 1,25^(1,2,3 …20) είναι: 1,25, 1,56, 1,95, 2,44 … 69,39, 86,74).
Στα πρώτα βήματα της εκθετικής εξέλιξης, τα πάντα δείχνουν ότι είναι υπό έλεγχο. Τίποτα το σπουδαίο και ενδιαφέρον. Αυτό είναι εξαιρετικά επικίνδυνο. Τίποτα δεν προδιαθέτει αυτό που θα συμβεί. Και προφανώς κανείς δεν προετοιμάζεται – κανείς δεν θέλει να σταματήσει η ορχήστρα να παίζει, όταν όλοι διασκεδάζουν και είναι χαρούμενοι.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου
Η Γνώμη Κιλκίς- Παιονίας διευκρινίζει στους αναγνώστες της ότι θεωρεί αυτονόητο το δικαίωμα του σχολιασμού και της κριτικής έκφρασης, όταν αυτό φυσικά δεν στοχεύει στην απαξίωση, στην ύβρη και στην προσβολή ατόμων και θεσμών.
Το αναγνωστικό κοινό θα πρέπει να γνωρίζει ότι η Γνώμη, επιδιώκοντας μια υγιή και αμφίδρομη επικοινωνία, δεν δημοσιεύει ανυπόγραφα σχόλια, αλλά ούτε και σχόλια ρατσιστικού, προσβλητικού και υβριστικού περιεχομένου.
Τα ενυπόγραφα άρθρα τέλος, εκφράζουν το συντάκτη τους και δε συμπίπτουν κατ' ανάγκην με την άποψη της εφημερίδας.